Quelle est la hauteur que le jet d’eau peut atteindre?

Qu’est-ce qu’un « problème de Fermi  » ?

  • le pdf du premier « problème de Fermi »  est ici

Le jet d’eau de Genève par Prof. Andreas Mueller

ile:Jet-d'eau-Genève.jpg

Fig. 1 [2]: Quelle est la hauteur que le jet d’ eau peut atteindre? [1]

1        Quelle est la hauteur que le jet d’eau peut atteindre?

Le jet d’eau de Genève est un des plus hauts du monde, sa hauteur est/étant limitée essentiellement par sa localisation spectaculaire quasiment en pleine ville. Nous allons estimer cette hauteur à partir des données dans la fiche touristique du jet d’eau
(cf.
[2] et Tab. 1).
Pour cela, le raisonnement est présenté par une série de questions (avec les réponses données séparément). Cela laisse aux personnes intéressées la possibilité d’y réfléchir elles-mêmes (et d’utiliser ces questions comme exercice pour l’enseignement, si désiré).

Hauteur
maximum du Jet (h)
140 m
Vitesse
de sortie de l’eau (
v)
200 km/h
Débit (dV/dt) 500 l/s
Puissance
de pompes (Pp)
1 MW
Puissance
de l’éclairage (Pe)
9 kW
Tab. 1:
Données techniques du jet d’ eau de Genève (selon
[2])

a) L’idée principale est la conservation d’énergie. Le but étant une réponse approximative, voire une estimation ; que va-t-on négliger ?
Comment écrire la conservation d’énergie dans une équation pour ce cas là ?

b) Justifiez le résultat h = ½ v2/g

c) Pour continuer, il faut exprimer v en unités S I ; quelle valeur obtenez-vous ?

d) Et finalement, avec les valeurs données quelle valeur obtenez-vous pour h ?
Comment votre résultat se compare-t-il avec la valeur « officielle », et comment interprétez-vous cette comparaison? (Essayez de répondre à cette question d’une façon quantitative).

2        Solution

a) Pour un traitement approximatif on néglige le frottement de l’eau dans l’air.
Alors l’énergie potentielle d’une masse d’eau au point culminant égale son énergie cinétique à la sortie au sol, et on peut écrire mgh = ½ mv2

b) Dans l’équation précédente, on résout pour h et on obtient l’expression
en question (h = ½ v2/g).

c) v =56 m/s

d) h = ½ v2/g ≈ 5.62m2s-2 /2·10 ms-2 ≈ 160 m/s.

Cela est quelque 15% plus grand que le résultat « officiel ». La direction sens de l’erreur est le bon, parce qu’on a négligé le frottement (donc surestimation), et la valeur de 15% est tout à fait acceptable, vu la simplicité du modèle utilisé.

3        Commentaires

a) En général, la conservation de l’énergie pour les fluides est exprimée dans l’équation de Bernoulli.

b) Du point de vue didactique, l’exercice a les caractéristiques suivantes

- application du contenu enseigné à la vie quotidienne

- utilisation et justification des approximations comme partie essentielle du travail
scientifique

- entrainement pour du savoir-faire basique / de base (lecture des tables, conversion
des unités).

- Si on veut, on peut «ouvrir» l’exercice vers une investigation plus indépendante en ne donnant pas les valeurs (c’est-à-dire ni Tab. 1 ni la source [1]), mais en posant juste la question « Quelle est la hauteur que le jet d’eau peut atteindre? » et en faisant de la recherche des valeurs nécessaires une partie de la tâche.

Sources

[1]

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/68/Jet-d%27eau-Gen%C3%A8ve.jpg

[2]  

http://www.sig-ge.ch/_img/documents/pdf/corporate/patrimoine/SIG_Depliant_jet%20d%27eau.pdf
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